最小多项式

Minimal Polynomial

最小多项式是使方阵或线性算子归零的最低次数首一多项式。设 $A \in F^{n \times n}$ ，若非零多项式 $p (λ)$ 满足

p (A) = 0,

则称 $p$ 为 $A$ 的湮灭多项式。所有湮灭多项式中次数最低且最高次系数为 $1$ 的那个，称为 $A$ 的最小多项式，记为

m_{A} (λ) .

最小多项式总是存在，因为凯莱-哈密顿定理保证特征多项式 $p_{A} (λ)$ 满足 $p_{A} (A) = 0$ 。并且

m_{A} (λ) ∣ p_{A} (λ) .

更强地，若 $q (A) = 0$ ，则

m_{A} (λ) ∣ q (λ) .

因此 $m_{A}$ 是所有湮灭多项式的公共因子核心。

若 $A$ 的不同特征值为 $λ_{1}, \dots, λ_{s}$ ，则

m_{A} (λ) = \prod_{i = 1}^{s} (λ - λ_{i})^{ν_{i}},

其中 $ν_{i}$ 是与 $λ_{i}$ 对应的最大 Jordan 块大小。于是最小多项式记录的不只是特征值集合，还记录每个特征值方向上最长的广义特征向量链。

矩阵 $A$ 在代数闭域上可对角化，当且仅当最小多项式没有重根：

A diagonalizable ⟺ m_{A} (λ) = \prod_{i = 1}^{s} (λ - λ_{i}) .

如果某个特征值对应的最大 Jordan 块大小大于 $1$ ，则 $m_{A}$ 中该因子出现高次幂，矩阵不能被普通特征向量基对角化。

若

A = [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}],

则

m_{A} (λ) = (λ - 2) (λ - 3) .

它等于特征多项式，因为两个特征值都需要被消去。

若

A = 2 I,

则

m_{A} (λ) = λ - 2,

但特征多项式是 $(λ - 2)^{n}$ 。这说明特征多项式可能包含代数重数，而最小多项式只保留让 $A$ 归零所需的最小结构。

若

J = [\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}] = λ I + N, N^{2} = 0, N \neq 0,

则

(J - λ I)^{2} = 0, J - λ I \neq 0,

所以

m_{J} (t) = (t - λ)^{2} .

这个平方因子正是 Jordan 链长度为 $2$ 的信号。

如果要计算 $f (A)$ ，只需要知道 $f$ 在最小多项式模掉后的余式。也就是说，若

f (λ) \equiv r (λ) (\mod m_{A} (λ)), \deg r < \deg m_{A},

则

f (A) = r (A) .

因此最小多项式给出比特征多项式更短的幂降阶空间：

span {I, A, \dots, A^{d - 1}}, d = \deg m_{A} .

这在矩阵指数函数、离散系统 $A^{k}$ 、线性递推和控制系统状态转移中很有用。